Grundlagen zum Ableiten
Was du zunächst zum Thema Ableiten wissen solltets: Geometrisch entspricht die Ableitung einer Funktion der Tangentensteigung. Wie du dir das vorstellen kannst, sehen wir in der Abbildung.
Angenommen die Funktion lautet f(x)=x2, dann lautet die zugehörige erste Ableitung f′(x)=2x, welche die Steigung der Tangente an jeder Stelle x0 definiert.
Setzen wir für x Zahlen ein, z.B. x0=2, sehen wir, dass die Tangentensteigung an der Stelle 2 gleich f′(2)=4 ist. Wenn wir x0=−1 einsetzen, erhalten wir mit f′(−1)=−2 die Steigung der Tangente an der Stelle -1.
Es gilt (was sich leicht aus der obigen Grafik nachvollziehen lässt):
- liegt x0 in einem Bereich, in dem die Kurve steigt, gilt f′(x)>0
- liegt x0 in einem Bereich, in dem die Kurve fällt, gilt f′(x)<0
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Grafisches Ableiten und Aufleiten
Anhand der folgenden Grafik kann man schön sehen, wie f(x),f′(x) und f“(x) miteinander verbunden sind. Vielleicht kennt ihr diese Eselsbrücke: N steht hierbei für die Nullstelle, E für Extrempunkt und W für den Wendepunkt.f(x)f′(x)f“(x)NENWENWEW
Was soll uns diese Tabelle sagen?
Die Tabelle zeigt zusammenfassend, welche Funktion uns welchen Wert für die jeweilige Ableitung oder Aufleitung liefert.
Gucken wir uns dazu die Abbildung etwas genauer an:
Die Nullstelle der 2. Ableitung f“(x) zeigt uns den x-Wert für den Extrempunkt der 1. Ableitung f′(x). Dieser wiederum zeigt uns, wo die Ausgangsfunktion f(x) seinen Wendepunkt hat.
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